أنواع المتتابعات والمتسلسلات

أنواع المتتابعات والمتسلسلات

 أنواع المتتابعات والمتسلسلات

علم الرياضة بجميع فروعه يعتبر من العلوم التطبيقية الهامة حيث يدخل في جميع مجالات الحياة، فنحن نستخدمه في حياتنا اليومية بشكل منتظم أيضا، فمن خلاله يتمكن الفرد من إجراء عمليات الشراء والبيع، وإجراء بعض العمليات الحسابية أيضا، ولاعتبار المتتابعات والمتسلسلات أحد أهم فروع علم الرياضة سنواصل الحديث عنهم من خلال فقراتنا التالية، حيث نستعرض لكم مفهوم كل فرع والأنواع الخاصة به.

أمثلة متنوعة حول المتتابعات

• المثال الأول:

• ما هو العدد أو الحد الخامس والثلاثون في المتتابعة الحسابية الآتية: 3، 9، 15، 21، ……..؟
  • الحل:
  • يمكن حل هذا السؤال باستخدام قاعدة المتتابعات الحسابية: ح _ن = ح₁+(ن-1)×د، لينتج أنّ:
    • الفرق بين كل حدين متتاليين في هذه المتتالية هو: د = 6، أما الحد الأول فيها فهو 3، وعليه تكون قاعدتها: ح _ن = 3+(ن-1)×6 = 6×ن-3.
  • ن تمثل ترتيب الحد المراد إيجاده، ويساوي 35، وعليه:
    • بالتعويض في القانون فإن الحد الخامس والثلاثين هو: ح ₃₅ = 6×ن-3 = (6×35)-3 = 207. أيضا

 

• المثال الثاني:

• متتابعة حسابية الحد الخامس فيها يساوي -8، والحد الخامس والعشرون فيها يساوي 72، فما هي قاعدة هذه المتتابعة، وما هو قيمة الحد مئة؟ أيضا
• الحل:
• بما أن المتتابعة حسابية فإن قاعدتها العامة هي: ح _ن = ح₁+(ن-1)×د، ولإيجاد قيمة أي حد فإننا نحتاج أولاً إلى إيجاد قيمة كل من: ح₁، د.بما أن الحد الخامس يساوي -8، فإنّ:
• -8 = ح₁ + (5-1)×د………. (المعادلة الأولى)
• بما أن الحد الخامس والعشرين يساوي 72 فإنّ:72 = ح₁ + (25-1)×د…………. (المعادلة الثانية)
• لدينا الآن معادلتان، وبحل هاتين المعادلتين بطريقة الحذف فإنّ: ح₁ = -24، د = 4.مما سبق ينتج أنّ قاعدة المتتابعة الحسابية هذه هي: ح ن = -24+(ن-1)×4، وبالتالي يمكن إيجاد قيمة الحد مئة بالتعويض في هذه القاعدة، وذلك كما يلي: أيضا
  • ح₁₀₀= -24 + (100-1)×4= 372.

 

• المثال الرابع:

• جد الحدود المفقودة في المتتابعة الآتية: 8، ….، 16، ….، 24، 28، 32؟^[١١]
  • الحل:
  • لمعرفة الحدود المفقودة فإنه يجب أولاً معرفة نوع المتتالية، وهي حسابية بالنظر إلى الحدود الأخيرة فيها، وقاعدتها العامة هي: ح _ن = ح₁+(ن-1)×د، أما قاعدتها الخاصة بها فهي: ح _ن = 8+(ن-1)×4؛ لأن الحد الأول هو 4، أما الفرق بين كل عددين متتالين فهو 4.
  • وبالتالي فإن الحدود المفقودة هي:
    • ح ₂ = 4+4×2 = 12.
    • ح ₄ = 4+4×4 = 20.

 

• المثال الخامس:

• ما هي قيمة الحد س في المتتابعة الآتية: 16، 21، س، 31، 36؟^[١١]
  • الحل:
  • لمعرفة الحدود المفقودة فإنه يجب أولاً معرفة نوع المتتالية، وهي حسابية بالنظر إلى الحدود فيها، وقاعدتها العامة هي: ح _ن = ح₁+(ن-1)×د، أما قاعدتها الخاصة بها فهي: ح _ن = 16+(ن-1)×5؛ لأن الحد الأول هو 16، أما الفرق بين كل عددين متتالين فهو 5.
  • بالتالي فإن الحدود المفقودة هي:
    • ح ₃= 11+5×3 = 26.

 

• المثال السادس:

• ما هي قاعدة المتتابعة الآتية: 4، 5، 6، 7، ……؟ ^أيضا
  • الحل:
  • لمعرفة الحدود المفقودة فإنه يجب أولاً معرفة نوع المتتالية، وهي حسابية بالنظر إلى الحدود فيها، وقاعدتها العامة هي: ح _ن = ح₁+(ن-1)×د، أما قاعدتها الخاصة بها فهي: ح _ن = 4+(ن-1)×1 = ن+3؛ لأن الحد الأول هو 4، أما الفرق بين كل عددين متتالين فهو 1.

 

• المثال السابع:

• ما هي قاعدة المتتابعة الآتية: -1، 0، 3، 8، 15، ……؟
  • الحل:
  • هذه المتتابعة ليست هندسية ولا حسابية، ولإيجاد قاعدتها فإنه يجب تخمين العلاقة بين قيمة ن التي تمثل ترتيب الحد، و ح _ن التي تمثل قيمة الحد أيضا، ولتسهيل ذلك يمكن عمل الجدول الآتي:

رقم الحد (ن)	1	2	3	4	5
قيمة الحد (ح ن)	-1	0	3	8	15

• • وبالتالي يلاحظ أن قاعدة المتتالية هي: ح _ن = ن×(ن-2). أيضا

 

• المثال الثامن:

• جد الحد الخامس في المتتابعة الآتية: 1، 4، 27، 256، ……..؟ ^أيضا
  • الحل:
  • هذه المتتابعة ليست هندسية ولا حسابية، ولإيجاد قاعدتها فإنه يجب تخمين العلاقة بين قيمة ن التي تمثل ترتيب الحد، و ح _ن التي تمثل قيمة الحد، ولتسهيل ذلك يمكن عمل الجدول الآتي:

رقم الحد (ن)	1	2	3	4
قيمة الحد (ح ن )	1	4	27	256

• • وبالتالي يمكن استنتاج أنّ القاعدة هي: ح _ن = ن ^ن
  • الحد الخامس فيها هو: ح ₅ = 5 ⁵ = 3125.

 

• المثال التاسع:

• ما هي قيمة الحد السادس في المتتابعة الآتية: 2، 5، 10، 17، 26، …..؟
  • الحل:
  • لإيجاد قيمة الحد السادس فإنه يجب معرفة قاعدة المتتابعة، أيضا ولتسهيل الحل يتم عمل الجدول التجريبي الآتي:

رقم الحد (ن)	1	2	3	4	5
قيمة الحد (ح ن)	2	5	10	17	26

• • وبالتالي فإن القاعدة هي ح _ن = ن²+1، وبتطبيق هذه القاعدة فإن الحد السادس = 6²+1 = 36+1 = 37.