تعرف معنا عزيزي القارئ عبر مقالنا اليوم من بحر على خصائص الدائرة Sphere، فهي من ضمن الأشكال الهندسية الأولي التي عرفها الإنسان البشري، وتتواجد في علم الرياضيات، وتتميز بأنها مجموعة من النقاط المتصلة ببعضها في صورة استدارة، ولا تتضمن بداخلها أي أضلاع.
وهي عبارة عن تلك المنحنى التي تكون كافة نقاطه مُغلقة من عند مركز الدائرة، ويُطلق عليها النقطة الثابتة أو النقطة المركزية؛ لأنها تقع في المنتصف، وتلتف حول منها النقاط الأخرى ، ومن هنا دعنا نتعرف بشئ من التفصيل على تعريف الدائرة وخصائصها، ومحيط ومساحة الدائرة، خلال السطور التالية، فقط عليك متابعتنا.
تعريف الدائرة
- يُمكننا عن طريقها أن نجد مجموعة من القيم الرياضية، ويتم الاعتماد عليها في الكثير من الاستخدامات العلمية.
- أما المسافة التي تفصل بين المركز، وإحدى النقاط على المُحيط فتعبر عن نصف قطر الدائرة، ويُطلق عليها نق.
- وهي تتكون من عدة نقاط مبتعدة عن بعضها بمسافة واحدة متساوية من كافة الاتجاهات، ويُطلق عليها نصف القطر، فهي تلك النقطة المُحددة المسماة بمركز الدائرة.
- ونجد أنها تشتمل على الوتر، ومعناه تلك الخط الذي يصل بين أي نقطتين متواجدين على محيط الدائرة.
- يشير المُحيط إلى تلك المسافة المُتواجدة حول الدائرة من كل مكان.
- من ضمن أشكال الوتر يكون القطر، ويختلف شكله عن الأوتار الأخرى، وذلك لمروره بالمركز.
- إذا أردنا تعريف الكرة بعلم الهندسة سنجد أنها تُعبر عن أحد الأجسام الناتجة من دوران الدائرة بشكل كامل، حول أحد الأقطار، أما معناها في الهندسة الفراغية أو الأقليدية فنجدها ترمز إلى المساحة المستديرة التي تكون كافة النقاط بها بعيدة بشكل كبير عن النقطة المُحددة ويُطلق عليها المركز.
- ويُطلق اسم شعاع على بُعد المركز عن كافة النقاط المرتبطة بالدائرة.
- أما القطر فيتم تسمية الشعاعان المستقيمان به مثل الدائرة.
خصائص الدائرة
هناك مجموعة من الخصائص المتنوعة التي تتميز بها الدائرة عن غيرها من الأشكال الأخرى، وهي كالآتي:-
- يتوفر بها أنصاف أقطار بأعداد كبيرة لا نهائية، وتكون متساوية بالطول.
- تتميز بمركز واحد ويكون حول منها مجموعة من النقاط المختلفة، ويُطلق عليها مُحيط الدائرة.
- يتم تكوين مثلث متساوي الأضلاع من خلال الوصل بين نصفي قطر الدائرة، والوتر الذي يصل بين أطرافهم.
- يتواجد بالدائرة خط يمس مُحيطها ويُطلق عليه اسم المماس.
- تتساوي قيمة ط بكافة مساحات وأنواع الدوائر.
- نجد أن وتر الدائرة لا يكون مُجسم، ويعبر عن أحد الأشكال الهندسية ثنائية الأبعاد.
- كلما ازداد طول الوتر فهنا نجد أن المسافة العمودية بين الوتر ومركز الدائرة بدأ يقل.
- يتواجد بها نصف قطر يُعبر عن الطول الذي يصل بين نقطة ما على مُحيط الدائرة، وبين مركز الدائرة.
- 3 أضعاف طول القطر يُساوي مُحيط الدائرة.
- في حالة تساوي نصف قطر الدوائر فهنا نجد أن الدائرة متطابقة.
- الوتر الأطول في الدائرة يُطلق عليه قطر الدائرة.
- يتوازى المماسين عند رسمهم بنهايتي قطر الدائرة الواحدة.
- يُمكننا الحصول على القيمة الثابتة باي pi من خلال قسمة مُحيط الدائرة على القطر، وعلى الأغلب تكون القيمة 3.142.
- في حالة إقامة عمود من منتصف وتر الدائرة فهنا نلاحظ أنه يمر بالمركز.
- يُنصف الوتر من خلال العمود الذي يسقط عليه من مركز الدائرة.
خصائص زوايا الدائرة
الزاوية المركزية
- يطلق عليها بالإنجليزية Central Angle، وهذه الزاوية نجد رأسها عند المركز الرئيسي للدائرة، أما نهاية أضلاعها فتكون على مُحيط الدائرة.
- الزوايا المركزية المساوية لبعضها نجد أيضاً أن أقواسها تتساوى مع بعضها.
- الزوايا التي تُقابل نفس القوس نجد أنها مُتساوية في قياسها.
- ضعف الزاوية المُحيطية المتواجدة على القوس يساوي الزاوية المركزية المتواجدة على نفس القوس.
- طول القوس المُقابل للزاوية المركزية يزداد كلما زاد قياسها.
- القوس الذي يتم تشكيله بالزاوية المركزية يُساوي نصف مُحيط الدائرة، وذلك في حالة أن الزاوية المركزية تساوي 360°=2π.
الزاوية المُحيطية
وهي تلك الزاوية التي يُطلق عليها باللغة الإنجليزية Inscribed Angle، وتتكون من مُقابلة وترين والتقائهم عند مُحيط الدائرة، ويكون لها مجموعة من الخصائص المختلفة، وهي:-
- إن تلك الزوايا المُحيطية التي تقع في مواجهة نفس الوتر، وعلى جانبين مُتقابلين يساويان معاً 180°.
- نجد أن الزوايا التي تُقابل نفس القوس تكون متساوية بالقياس.
- الزوايا التي تم رسمها على نفس القوس تكون متساوية.
- أي زاوية مُحيطة بنفس الدائرة يُعادل قياسها حوالي 90°.
- يزداد طول القوس المقابل للزاوية المُحيطية كلما زاد قياس تلك الزاوية.
تاريخ الدائرة
المصريين القدماء
- كان الفضل الأول لمعرفة خصائص الدائرة يعود إلى الدولاب، فدراسة الدائرة يرجع تاريخها إلى العصور القديمة ما قبل التاريخ.
- فالإغريق كانوا دائماً ينسبون اختراع علم الهندسة إلى المصريين القدماء.
- وهناك شواهد من التاريخ تُثبت هذا الأمر فالملك أحمس مالك بردية رند، قام بشرح وتفسير حساب المثلثات والمساحات في قديم الزمان.
- فهو أول من وضع قاعدة عامة للمساهمة في حساب المساحة الخاصة بالدائرة.
- فهو من ساعد في اكتشاف النسبة التي تم الاستعانة بها فيما بعد لحساب مساحة الدائرة، ومحيطها، بالإضافة إلى استخدامها في حساب حجم الكرة، وهي 256/81 أي تساوي 3.16 ، وهو الرقم الثابت الذي مازال يتم استعماله حتى الآن فهو يُطلق عليه pi ونسبته الآن تساوي 3.1416.
الإغريق طاليس
- تمكن في عام 650 قبل الميلاد من وضع نظريات الدائرة.
وفي سنة 450قبل الميلاد حاول أنغزاغورس أن يبحث عن صيغة مُعادلة حسابية يتم من خلاله حساب مساحة المربع التي توازي مساحة أحد الدوائر.
بالإضافة إلى ذلك هناك كتاب وضعه أقليديس الثالث، وكان يتضمن بداخله خصائص الدائرة، والعناصر الأقليدية، والمسائل الحسابية الخاصة برسم المُضلعات داخل الدوائر.
وبالنهاية تبقى الدائرة كما هي لها مجموعة من الخصائص التي تجعلها تختلف عن الأشكال الهندسية الأخرى، ونجد أن كرة أرخميدس النظرية تتشابه بنسبة كبيرة مع الكرة الأرضية، وأيضاً نلاحظ أن القمر، والشمس يتخذوا شكل كروي مائل إلى الدائرة، وليس لأي شكل هندسي أخر.
أجزاء الدائرة
الجزء الداخلي: يعبر عن مساحة الدائرة، ويتم قياسه بالمتر مربع.
الجزء الخارجي: يسمى يمُحيط الدائرة، وقياسه من خلال وحدة المتر.
وبشكل عام نلاحظ أن أجزائها كالآتي:-
القطعة: وهي تُعبر عن المكان المحصور الذي يقع بين محيط ووتر الدائرة.
الوتر: يُشير إلى الخط المستقيم الذي يبدأ عند نقطة مُعينة من مُحيط الدائرة، وينتهي فيما بعد عند نقطة ثانية على مُحيط الدائرة.
قوس الدائرة: عبارة عن الأجزاء المختلفة من مُحيط الدائرة.
القطاع الدائري: يُعبر عن المكان الذي يقع بين نصفين قطرين بالدائرة.
القاطع: وهو يرمز إلى ذلك الخط الذي يلامس اثنين من النقاط المتواجدين على سطح الدائرة.
قوانين الدائرة
محيط الدائرة
- يعتبر من الأسس الهامة في علم هندسة الرياضيات، وهناك مجموعة من الاستخدامات والعلوم التي تقوم عليه، بالإضافة إلى ذلك يُمكننا الاعتماد على القانون الخاص بالدائرة في مجموعة من الأنشطة اليومية التي نقوم بها.
- يتكون من عدة نقاط تعطي لنا بالنهاية شكل الدائرة، ويبدأ وينتهي بذات النقطة، وهو بصورة عامة مُعبر عن طول المسافة المحيطة بالدائرة.
- قطر الدائرة يُعبر عن الوتر الأطول والذي يصل بين نقطتي محيط الدائرة، وهو يمر بالمركز.
- بصورة عامة يعتبر مُحيط الدائرة من المصطلحات الهامة التي يتم الاستعانة بها عند الرغبة في التعبير عن شكل الدائرة.
- يدل مُحيط الدائرة على المسافة التي تُقطع عند السير لمرة واحدة حول أحد الأشكال المُغلقة، ويُمكننا تعريف المحيط على أنه شئ ثنائي الأبعاد، ويرمز إلى أحد الأطوال الكلية لجوانب المضلع.
- يتم تعريفه باللغة الإنجليزية على أنه تلك المسافة التي تُحيط بموقع معين.
- يُقاس بوحدة السم، المتر، المللي متر، أو أي وحدة أخرى تُعبر عن قياس الأطوال.
- ويُمكننا حساب مُحيط الدائرة من خلال الاعتماد على نصف قطرها، فالقانون هنا محيط الدائرة = 2× نصف القطر× ط ، وبصيغة أخرى يساوي 2×π × نصف قطر الدائرة.
- أو محيط الدائرة = π × القطر.
- وهنا تكون القيمة الثابتة الخاصة بـ نق = 3.14.
مثال1
احسب مُحيط عجلات السيارة إذا كان طول نصف قطرهم يُعادل 30سم؟
حل المسألة
مُحيط الدائرة = 2 نق× π
2×30×3.14 = 188.4 سم = 1.884متر
مُحيط العجلات الأربعة = 4× مُحيط العجلة الواحدة = 4×188.4 = 753.6 سم = 7.536متر.
مثال2
إذا كان هناك دائرة قطرها 10سم فماذا يكون مُحيطها؟
مُحيط الدائرة = π × قطر الدائرة.
وبالتالي = 3.14×10 = 31.4سم.
مساحة الدائرة
- تأخذ بعض الوقت لحسابها فهي من الطرق الصعبة بعض الشئ عن مُحيط الدائرة، ففي البداية يتم إيجاد نصف القطر، ثم نحسب القطر، ومن بعده المُحيط ، ثم بعد ذلك يتم حساب المساحة.
- مساحة الدائرة =(نصف القطر) ^2 ×ط (π) أي يساوي نق²×ط.
- 22/7 أو π = 3.14
- أي تساوي مساحة الدائرة ط أو باي × نق تربيع (معناها نصف القطر× نصف القطر)
مثال1
إذا بلغ مُحيط خزان مياه دائري حوالي 90سم، فما هي مساحته؟
الإجابة
في البداية حساب مُحيط الخزان = 2× نق× ط
نق = 6.28/90 = 14.33سم.
مساحة القاعدة الدائرية للخزان = نق²×ط = 14.33² × 3.14 = 644.7955 سم².
مثال2
دائرة قطرها 80سم، فماذا تكون مساحة الدائرة؟
نصف القطر = 40سم.
مساحة الدائرة = 3.14× 40 تربيع = 3.14× 40²= 5.024سم.
وإلى هنا ينتهي مقالنا، وتطرقنا من خلاله للتعرف على خصائص الدائرة وقوانينها ، والقوانين المتعلقة بها، فنتمنى أن تكون المعلومات أفادتك، ونالت إعجابك، وبكل تأكد نسعد لمتابعتك الطيبة، ونتركك الآن في أمان الله ورعايته.
