ما هي الأعداد الأولية وكيفية تحديد العدد الأولي

الأعداد الأولية وكيفية تحديد العدد الأولي، تُعد إحدى مجالات نظم المعلومات، لكونها تُستخدم في تقنيات تشفير البيانات، لضرورة توليد أزواج من المفاتيح، ولذلك جذبت الأعداد الأولية وخصائصها علماء الرياضيات لعدة قرون بسبب استخدامها في مختلف المجالات، وازدادت أهميتها خاصةً في مجال تكنولوجيا المعلومات والأمن ففهمها يُعد الخطوة الأولى في تكوين الشفرة.

العدد الأولي هو عدد صحيح لا يُمكن تكوينه بضرب أعداد صحيحة أخرى، ولا يقبل القسمة إلا على رقم 1 وبالطبع على نفسه، ومن السهل توليدها ناتج عددين أوليين ولكنه صعب للغاية ومرهق تحليل العوامل الأولية مجتمعة، وهناك الكثير من النظريات التي تُفسر ذلك كالآتي:

• أنشئ المختص بعلم الرياضيات جولد شتاين ومعه علماء آخرون قائمة أول خمسة وعشرين عددًا أوليًا، في تسلسل تلك الأعداد له أهمية في مجال دراسة العدد الأولي لتحديد كيفية الاستفادة منهم .
• تم اقتراح بعضاً من النظريات مع براهينها لتوليد التسلسل (على سبيل المثال الفكرة الأولية في التصنيف المثالي ونظرية الأولية للتقدم الحسابي) .
• إثبات GoldBachs وتستند فرضيته إلي نظرية التخمين وخاصية قطرية الفجوة، والتي تتكون من الأعداد الصغيرة وأخرى كبيرة.
• بالإضافة إلى اقتراح خوارزمية رقم أولي أخر بواسطة Riesel و Hans، حيث يُعتبر p عددًا أوليًا كاملاً.
• مساهمة LU  في توليد تلك الأعداد، هي أنه يُمكن وضع الصحيحة الموجبة بمجموع العدد الأولي.
• في حين أن إم وولف في اقتراح خوارزمية أخرى لتوليد عدد أولي، حيث أثبت أنه يُمكن الحصول عليه من المجموع التربيعي لها.
• غيرهم اقترح أن الأعداد الكبيرة ناتج عن جمع عدد وحاصل تكعيب من أربعة أعداد أولية.

خصائص الأعداد الأولية

تمتاز بسمات تُميزها عن باقي الأعداد الأخرى، ومن أبرزها ما يلي:

• يُمكن قسمة كل عدد أكبر من 1 على عدد أولي واحد على الأقل.
• يُمكن التعبير عن كل عدد موجب ويكون عدد صحيح من 2 كمجموع اثنين من الأعداد الأولية باستثناء 2.
• جميع الأعداد الأولية الأخرى فردية أو بعبارة أخرى يُمكننا القول أن 2 هو العدد الأولي الزوجي الوحيد.

تاريخ الأعداد الأولية

اكتشف العلماء منذ القدم الأعداد الأولية وعرفوا مدى أهميتها كما يلي:

• تم اكتشاف العدد الأولي من قبل إراتوستينس في العام 275-194 قبل الميلاد في اليونان.
• أخذ مثالًا من شأنه تصفيتها من قائمة الأعداد الطبيعية وتحديد الأرقام المركبة.
• من الجدير بالذكر أن هذه الطريقة شائعة حتى الآن ويُمكن للطلاب في المدارس أن يقوموا بها، وذلك عن طريق كتابة الأعداد الصحيحة من 1 إلى 100 وتحريرها ووضع علامة متقاطعة على الأعداد المركبة.

التشفير والأعداد الأولية

تعتمد بعض خوارزميات التشفير المهمة مثل RSA بشكل حاسم على حقيقة أن التحليل الأولي للأعداد الكبيرة يستغرق وقتًا طويلاً، ونُوضح فيما يلي شرح لآلية التشفير:

• في الأساس لدينا “مفتاح رئيسي” يتكون من ناتج مكون من اثنين من الأعداد الأولية .
• كما يُوجد “مفتاح سري” يتكون من هذين الأوليين المستخدمين لفك تشفير الرسالة.
• يُمكن للمبرمج جعل المفتاح عامًا بحيث يُتاح للجميع استخدامه لتشفير الرسائل التى تم إرسالها  للشخص.
• معرفة العوامل الأساسية تُمكن من فك تشفير الرسائل ويّتعين على أي شخص آخر أن يُحلل الرقم، الأمر الذي يستغرق وقتًا طويلاً ليكون عمليًا، نظرًا للحالة الحالية لفن نظرية الأعداد.
• السبب في أنها أساسية تشفير RSA فعندما تضرب اثنين معًا، فإن النتيجة هي رقم لا يُمكن تقسيمه إلا إلى تلك الأعداد الأولية، ولكن عندما تستخدم أعدادًا أولية أكبر بكثير لـ p و q، فمن المستحيل إلى حد كبير على أجهزة الكمبيوتر إخراجها من N.
• هذه الحقيقة تجعلها ذات أهمية حيوية للاتصالات، حيث تعمل معظم أنظمة التشفير الحاسوبية الحديثة باستخدام العوامل الأولية للأعداد الكبيرة.
• يُمكن أن يكون العدد الكبير الذي تم استخدامه لتشفير ملف معروفًا ومتاحًا للجمهور، لأن التشفير يعمل بحيث لا يُمكن استخدام سوى العوامل الأولية لهذا العدد الكبير لفك تشفيره مرة أخرى.
• بالرغم من كون العثور على هذه العوامل من الناحية الفنية هو مجرد مسألة وقت، إلا أن الوقت المستغرق طويل لدرجة أننا نقول أنه لا يُمكن تحقيقها.

هل العدد 1 عدد أولي  ؟

عن طريق منح تعريف العدد الأولي والذي ينص على أن الرقم يجب أن يحتوي على عاملين بالضبط ليتم اعتباره عددًا أوليًا، الرقم 1 له عامل واحد فقط وهو 1 نفسه، وبالتالي فالعدد 1 لا يُعتبر رقمًا أوليًا.

طريقة تحديد العدد الأولي

اقترح العلماء والرياضيين طريقتان تُساعدان في معرفة ما إذا كان الرقم المحدد أوليًا  أم لا ، وذلك كما يلي:

الطريقة الأولى

نعلم أن 2 هو العدد الأولي الزوجي الوحيد وعددان طبيعيان متتاليان فقط هما 2 و 3،  بصرف النظر عن هذين العددين يُمكن كتابة كل عدد أولي على شكل 6n + 1 أو 6n – 1 (باستثناء مضاعفات تلك  الأعداد الأولية ، أي 2 ، 3 ، 5 ، 7 ، 11) ، حيث n عدد طبيعي.

مثال على ذلك:

• 6 (1) – 1 = 5
• 6 (1) + 1 = 7
• 6 (2) – 1 = 11
• 6 (2) + 1 = 13
• 6 (3) – 1 = 17
• 6 (3) + 1 = 19
• 6 (4) – 1 = 23
• 6 (4) + 1 = 25 (من مضاعفات 5)

الطريقة الثانية

يُمكن استخدام الصيغة التالية لمعرفة الأعداد الأولية الأكبر من 40. أي n2 + n + 41 ، حيث n = 0 ، 1 ، 2 ، … ، 39

مثال على ذلك:

• (0) 2 + 0 + 0 = 41
• (1) 2 + 1 + 41 = 43
• (2) 2 + 2 + 41 = 47
• أمثلة: 2 ، 3 ، 5 ، 7 ، 11 ، إلخ.

تنويه: في الأعداد الصحيحة الموجبة المذكورة أعلاه جميعها إما قابلة للقسمة على 1 أو نفسها، أي رقمان صحيحان موجبان.

أصغر رقم أولي

أصغر عدد أولي يُحدده علماء الرياضيات الحديثون هو 2، ولكي يكون عددًا أوليًا  يجب أن يكون الرقم قابلاً للقسمة على 1 فقط والرقم نفسه الذي يتحقق بالرقم 2.

أمثلة حول الأعداد الأولية والمُركبة

العدد الأولي هو عدد صحيح موجب له عاملين بالضبط إذا أعطينا له الرمز p، فإن العوامل هي بالضرورة  أن يقبل القسمة على 1 و p نفسها، وأي رقم لا يتبع هذا يُسمى بالأرقام المركبة مما يعني أنه يُمكن تحليلها في أعداد صحيحة موجبة أخرى، كما يلي:

• أول عشرة أعداد أولية: هي 2 ، 3 ، 5 ، 7 ، 11 ، 13 ، 17 ، 19 ، 23 ، 29 وتجدر الإشارة إلى أن الرقم 1 هو عدد غير أولي.
• قبل استخدام الآلات الحاسبة وأجهزة الكمبيوتر كانت تُستخدم الجداول العددية لتسجيل جميع الأعداد حتى حد معين.
• كانت تُطبع عادةً والطريقة الأكثر شيوعًا لإنتاج قائمة تُسمى غربال إراتوستينس.
• تُنتج هذه الطريقة رسمًا تخطيطيًا يُسمى مخطط إراتوستينس، ويُوضح الرسم البياني قائمة الأعداد الأولية حتى 100 ممثلة بواسطة المربعات الملونة.
• هي أعداد صحيحة موجبة تحتوي على عاملين فقط 1 والرقم نفسه على سبيل المثال , عوامل العدد 6 هي 1،2،3 و 6 ، وهي أربعة عوامل في المجموع.
• لكن عاملي العدد 7 هما 1 و 7 فقط، ليصبح المجموع اثنين.
• ومن ثم ، فإن 7 عدد أولي ولكن 6 ليس كذلك ، بل هو عدد مركب لكن تذكر دائمًا أن 1 ليس عددًا أوليًا ولا معقدًا.

ما هي الأعداد الأولية سؤال في غاية الأهمية يجب على جميع الأشخاص المهتمة بعلم الرياضيات معرفته، فهناك عددًا لا حصر له منها على الرغم من أنها تصبح أقل تكرارًا مع تقدمنا، فمن السهل نسبيًا العثور على أعداد أولية أكبر إلا أنه من الصعب حتمًا إعادة تحليل الأعداد الكبيرة وتحويلها إلى أولية.

عزيزي القارئ نتمنى أن نكون قد قدمنا كافة المعلومات عن ما هي الأعداد الأولية وكيفية تحديد العدد الأولي عبر موقعنا ونحن على أتم الاستعداد للرد على استفساراتكم في أسرع وقت.