بحث عن خصائص الأعداد الحقيقية

نقدم لكم في هذا المقال شرح و بحث عن خصائص الأعداد الحقيقية مع الأمثلة الموضحة ، يمكن أن تعرف الأرقام على أنها مجموعة رموز يتم استخدامها من أجل التعبير عن الأعداد التي تقع بين الصفر والتسعة، وهي بذلك لا تعتبر أعداد بل تعتبر أشكال يتم من خلالها التعبير عن مقدار وكمية الأشياء، فمثلا نجد أن رمز العدد سبعة هذا هو عبارة عن رقم واحد فقط وهو الرقم 7، في حين نجد أن رمز العدد 73 يتكون من رقمين وهما الرقم 3 والرقم 7، فنستنتج مما سبق أن الأعداد أو الأرقام هي الأساس الذي عليه يقوم كافة العمليات الحسابية بمختلف أشكالها بكافة المجالات مثل الرياضيات والإحصاء والفيزياء وغيرهم، وتتضمن الأعداد هذه ست مجموعات وتنتمي لمجموعة أعداد تعرف باسم مجموعة الأعداد الحقيقية، وهذا ما سنتحدث عنه بمقالنا اليوم حول الأعداد الحقيقية وإليكم مزيد من التفاصيل على بحر .

بحث عن خصائص الأعداد الحقيقية

الأعداد الحقيقية

• من الممكن أن نقوم بتعريف الأعداد الحقيقية في الرياضيات على أنها مجموعة من الأعداد، هذه الأعداد غير متناهية من الممكن أن نقوم بتمثيلها على خط مستقيم متصل، ويسمى هذا الخط بخط الأعداد.
• وتتضمن تلك الأعداد لمجموعات من الأعداد وهي مجموعات الأعداد النسبية ومجموعة أخرى وتعرف بمجموعة الأعداد غير النسبية، وكذلك مجموعة الأعداد الطبيعية وأخيراً مجموعة الأعداد الصحيحة.

نشأة الأعداد الحقيقية

كما نعلم أنه يوجد كميات وأطوال ومقادير يصعب قياسها بواسطة استخدام الأعداد الصحيحة أو الكسرية، وإنما ناتج قياسها هو عبارة عن عدد غير كسري، ومن الممكن تصور هذه الأرقام على أنها من الأعداد غير المنتهية، والتي يمكن تمثيلها على خط الأعداد، ومن هنا كانت فكرة نشأة الأعداد.

أهم خصائص الأعداد الحقيقية

• إذا كانت أ، ب، ج أعداد تنتمي لمجموعة الأعداد الحقيقية، فإنّ:[١] (أ+ب) يساوي عدداً حقيقياً، كذلك (أ- ب) يساوي عدداً حقيقياً، مثلاً (3=1+2)؛ حيثُ إنّ العدد 3 عدد حقيقي، وكذلك (1=1-2)، وهو أيضاً عدداً حقيقياً. (أ×ب) يساوي عدداً حقيقياً، كذلك (أ/ب)؛ حيثُ ب لا تساوي صفر، مثلاً (2=2×1).
• يُعتبَر العدد صفر عدداً حقيقياً؛ حيثُ يُمثّل العنصر المحايد في عملية الجمع، مثلاً (5=0+5). يُعتبَر العدد 1 عدداً حقيقيّاً؛ حيثُ يمثل العدد 1 عنصراً مُحايداً في عملية الضرب، مثلاً (5=1×5). النظير الجمعي لأي عدد حقيقي هو معكوسه، فمثلاً النظير الجمعي للعدد (أ) هو (-أ). النظير الضربي لأي عدد حقيقي لا يساوي صفر هو مقلوبه، فمثلاً النظير الضربي للعدد (أ) هو (1/أ).
• وتشتمل الأعداد الحقيقية على الصفر وأي رقم موجب أو سالب وكل ما يُكتب على هيئة بسط ومقام، بالإضافة إلى الأعداد التي لا تُكتب على هيئة كسور الأعداد اللا كسرية، ومثال على ذلك رمز الباي.

أمثلة توضح كيفية تصنيف الأعداد الحقيقية

مثال1:

• صنّف الأعداد التالية إلى أعداد نسبية أو أعداد غير نسبية، مع توضيح السبب.[٢] العدد (…..0.88888) الحل: يُمثّل العدد (…..0.88888) كسر عشري متكرر وغير منتهٍ؛ حيثُ يمكن كتابته على صورة أ/ب؛ حيث أ، ب عددان صحيحان وب لا تساوي صفر، وبالتالي فهو يعتبر عدد نسبي. العدد (……..0.151151115111115) الحل: يُمثل العدد (……..0.151151115111115) كسر عشري غير منتهٍ وكذلك ليس متكرر ضمن نمط معين؛ حيث لا يمكن كتابته على صورة (أ/ب)؛ حيث (أ، ب) عددان صحيحان وب لا تساوي صفر، لذلك فهو يُعتبَر عدداً غير نسبي.
• الجذر التربيعي للعدد 2. الحل: يُمثّل الجذر التربيعي للعدد 2 جذر مربع غير كامل؛ حيثُ لا يمكن كتابته على صورة (أ/ب)؛ حيثُ أ، ب عددان صحيحان وب لا تساوي صفر، وبالتالي فهو يعتبر عدداً غير نسبيّ.

مثال2:

• صنّف الأعداد التالية إلى أعداد طبيعية، وصحيحة، ونسبية، وغير نسبية، وأعداد حقيقية. (1, 0.52, -15, 1/2, الجذر التربيعي للعدد 23).
• تمتاز بخاصيتين أساسيتين كونها أنها مكتملة وكونها حقلاً مرتباً، في حين أن خصائصها كمجموعة عددية هي:
• o     الأعداد الطبيعية “ط”، (بالإنجليزية: Natural Number) هي مجموعة الأعداد الواقعة بين الصفر والمالا نهاية الموجبة، أي أنها تشمل على مجموعة الأعداد الموجبة والصفر. والعدد الموجب هو عدد على يمينه إشارة الموجب (+) أو ليس لديه إشارة.
• {0 , 1, 2, 3, ……}
• o     الأعداد الصحيحة “ص”: (بالإنجليزية: Integer Number) هي مجموعة الأعداد الواقعة بين الما لا نهاية السالبة والما لا نهاية الموجبة مرورا بالصفر. أي أنها تشمل على مجموعة الأعداد الموجبة والسالبة وكذلك الصفر. والعدد السالب هو عدد على يمينه إشارة السالب (-).
• { …….,-3, -2, -1, 0, 1, 2, 3,……}
• o     الأعداد النسبية ” ن” : هي مجموعة جميع الأعداد التي يُمكن كتابتها على صورة بسط ومقام، مع ضرورة أن تكون قيمة المقام لا تساوي صفر.
• { أ\ب . أ , ب أعداد تنتمي إلى مجموعة الأعداد الصحيحة، ب≠ صفر}.

مثال:

• { 1\4 , -5\10 , ….}.
• o     الأعداد غير النسبية: هي مجموعة الأعداد غير المنتهية وغير الدوريّة، التي لا يوجد لها جذور على صورة عدد طبيعي، مثل الجذر التكعيبي للعدد 3.
• وتشمل مجموعة الأعداد الحقيقية أيضا على مجموعة الأعداد التي لا يمكن كتابتها على صورة الأعداد اللا كسرية مثل الباي (π)، عدد أويلر، والنسبة الذهبية.

مميزات الأعداد الحقيقية

1. الأعداد الطبيعية (N): وهي الأعداد {. . . . . 1,2,3,4,5}، فكل عدد يقع ما بين الصفر واللانهاية من الأعداد الموجبة هو عدد طبيعي.
2. الأعداد الكلية(W): وهي الأعداد الطبيعية +الصفر فيكون {……0,1,2,3,4,5 }
3.  الأعداد الصحيحة(Z): وهي الأعداد الكلية +الأعداد السالبة، أي أنها تلك الأعداد الواقعة بين اللانهاية الموجبة واللانهاية السالبة مع الصفر، ويمكن كتابة تلك الأعداد على هيئة كسر مقامه هو 1.
4. الأعداد النسبية(Q): وهي التي تتميز بعدة خصائص مثل احتوائها على المكعبات الكاملة وجذور المربعات والأعداد الكسرية، وهي كل عدد مكون من (بسط ومقام) وشرط أن المقام لا يساوي صفر، لأنه في حال تمت القسمة على صفر سيكون الناتج قيمة غير محددة.
5. الأعداد الغير نسبية(I): هي أعداد ليست منتهية وليست دورية وهي الأعداد التي تحت الجذر أن كنا لا نستطيع جذرها، وهي الأعداد التي لا تُكتب على هيئة الكسر أو العكس، ومن أمثلتها الكسور العشرية الغير منتهية، وجذور المربعات غير الكاملة.

العلاقات بين مجموعات الأعداد

حدد علماء الرياضيات العلاقات بين مختلف مجموعات الأعداد الطبيعية والحقيقية والصحيحة والنسبية والغير نسبية على النحو التالي:

• مجموعة الأعداد الطبيعية هي جزء من مجموعة الأعداد الصحيحة.
• ومجموعة الأعداد الصحيحة هي جزء من مجموعة الأعداد النسبية.
• ومجموعة الأعداد النسبية هي جزء من مجموعة الأعداد الحقيقية.

خط الأعداد الحقيقية

• أو ما يُطلق عليه مستقيم الأعداد الحقيقية وقد اخترعه عالم الرياضيات الإنجليزي جون واليس، ويتم الإشارة إليه من خلال هذا الرمز X’OX.
• وهو خط أفقي يتضمن كافة الأعداد الموجبة والسالبة والصفر، ويحتوي هذا الخط على نقاط تقع على مسافات متساوية تمثل كل نقطة فيه عدد حقيقي محدد.
• وكل طرف من طرفي خط الأعداد الحقيقية سواء كان من ناحية الأعداد الموجبة أو من ناحية الأعداد السالبة، يحتوي على علامة الما لا نهاية، وهي الدالة على عدم وجود نهاية للأعداد، ويتم الإشارة إليها من خلال هذا الرمز ∞.

اهميه الأعداد الحقيقية

• لا يقتصر استخدام الأعداد الحقيقية في علم الرياضيات فقط، بل يتم الاستعانة بها في الفيزياء أيضًا.
• فالكثير من النظريات الرياضية التي تعتمد على الأعداد الحقيقة قد أنتجت العديد من المفاهيم الفيزيائية مثل التسارع والسرعة اللحظية.
• هناك بعض الحسابات الخاصة بالحاسب الآلي تستخدم بعض من الأعداد الحقيقية وليس جميعها.

المراجع