المتطابقات المثلثية
- نقدم لكم في هذا المقال من بحر معلومات شاملة عن المعادلات المثلثية ، يعد المثلث أحد أبرز الأشكال الهندسية وثنائية الأبعاد والذي يتكون من ثلاثة أضلاع، إلى جانث ثلاثة رؤوس وهي نقاط تقاطع أضلاعها الثلاث.
- كما يشتمل المثلث أيضًا على ثلاث زوايا يساوي مجموعهم 180 درجة، وفي بعض أنواعه يحتوي على زوايتين متماثلتين، وتعد أضلاع المثلث أضلاع مستقيمة في الأصل، ومن شروط المثلث أن مجموعي طولي الضلعين يزيد عن طول الضلع الثالث.
- وتعد الزوايا الثلاث للمثلث زوايا داخليه له، كما أنه يحتوي أيضًا على زوايا خارجية وقياس الزاوية الخارجية للمثلث يكون مساويًا لمجموع الزاويتين الداخلتين له.
- ومن أبرز حالات المثلث تشابه المثلثين في حالة أن الزاوية في المثلث الأول تساوي قياس الزاوية في المثلث الثاني، كما أنه من بين حالات المثلث التطابق الذي ينتج عن تساوي أطوال أضلاع كلاً منهما أو قياس زواياه.
مفهوم علم حساب المثلثات
- ترتبط نظريات قوانين المثلثات المتنوعة بعلم حساب المثلثات ذلك المصطلح المشتق في الأصل من كلمة “trigonon” التي تشير في معناها إلى المثلث.
- ويشير مفهوم علم حساب المثلثات إلى العلم المختص بإيجاد أطوال أضلاع المثلث، إلى جانب قياس زواياه، كما أنه يركز على دراسة القوانين والنظريات المرتبطة بعلاقات كلاً من أطوال الأضلاع والزوايا سواء الداخلية أو الخارجية.
المتطابقات المثلثية الأساسية
تشتمل المتطابقات المثلثية الأساسية على مجموعة من النسب المثلثية والتي ترتبط بالمثلث قائم الزاوية، وتتمثل فيما يلي:
جيب الزاوية
ورمزه في حساب المثلثات (جا)، ويتم إيجاد جيب الزاوية في المثلث القائم الزاوية من خلال قسمة طول الضلع المقابل للزاوية على الوتر، فإذا كان هناك مثلث قائم الزاوية وزاوياه: أ، ب، ج، فإن جيب الزاوية ب= طول الضلع المقابل للزاوية ب / وتر المثلث.
جيب التمام
ورمزه في حساب المثلثات (جتا)، ولإيجاد جيب التمام للزاوية في المثلث قائم الزاوية فإنه يتم بنفس القانون السابق، ألا وهو قسمة طول الضلع المقابل للزاوية المراد إيجاد جيب التمام لها على وتر المثلث.
الظل
ورمزه في حساب المثلثات (ظا)، ويتم إيجاد ظل الزاوية في المثلث قائم الزاوية بقسمة طول الضلع المقابل للزاوية المطلوب إيجاد ظلها على طول الوتر، كما يمكن إيجاد ظل الزاوية أيضًا من خلال قسمة جيب الزاوية على جيب التمام إذا توفرت قيمهما.
ظل التمام
ورمزه في حساب المثلثات (ظتا)، ويتم إيجاد ظل التمام في المثلث قائم الزاوية من خلال قسمة طول الضلع المجاور للزاوية المطلوب إيجاد ظل التمام لها على طول الضلع المقابل للزاوية، وفي حالة توافر قيمة كلاً من جيب الزاوية وجيب التمام للزاوية فإنه يتم إيجاد قيمة ظل التمام عبر هذا القانون: جتا الزاوية / جا الزاوية، أما في حالة توافر قيمة ظل الزاوية فإنه يتم إيجاد قيمة ظل التمام من خلال هذا القانون: 1/ ظل التمام للزاوية.
القاطع
ورمزه في حساب المثلثات (قا)، ويتم إيجاد قاطع الزاوية في المثلث قائم الزاوية من خلال قسمة طول الضلع المجاور للزاوية المطلوب إيجاد قاطعها على طول الوتر، وفي حالة توافر قيمة جيب التمام فإنه يتم إيجاد القاطع من خلال قسمة 1 على جتا الزاوية= 1÷ جتا الزاوية.
قاطع التمام
ورمزه في حساب المثلثات (قتا)، ويتم إيجاد قاطع التمام في المثلث قائم الزاوية من خلال قسمة طول الضلع المقابل الزاوية المطلوب إيجاد قاطع التمام لها على طول الوتر، كما يمكن إيجاد قتا الزاوية في المثلث القائم من خلال قسمة 1 على جيب الزاوية = 1/ جا الزاوية.
المتطابقات المثلثية الفرعية
متطابقات فيثاغورس
تتمثل متطابقات فيثاغورس في إجراء العمليات الحسابية لكلاً من جيب الزاوية وجيب التمام وظل الزاوية وظل تمام الزاوية وقاطع الزاوية وقاطع تمام الزاوية، وتتساوى هذه العمليات في نواتجها والتي تتمثل في العدد 1، وفيما يلي نوضح لكم هذه نظريات هذه العمليات الحسابية:
- مربع جيب الزاوية + مربع جيب تمام الزاوية = 1، أي جا² س + جتا² س = 1.
- مربع قاطع الزاوية + مربع ظل الزاوية = 1، أي قا²س + ظا² س = 1.
- مربع قاطع تمام الزاوية + مربع ظل تمام الزاوية = 1، أي قتا²س + ظتا ²س = 1.
متطابقات ضعف الزاوية
تتمثل هذه المتطابقات في إيجاد جيب وجيب التمام وظل وظل التمام لضعف الزاوية، وذلك من خلال ما يلي:
- جيب ضعف الزاوية = 2 جيب X جيب تمام الزاوية، جا 2س = 2جاس جتاس.
- جيب تمام ضعف الزاوية = مربع جيب تمام الزاوية – مربع جيب الزاوية أي جتا الزاوية = جتا²س – جا² س.
- ظل ضعف الزاوية = ضعف ظل الزاوية ÷ (1- مربع ظل الزاوية)، أي ظا 2س= 2ظا س ÷ (1- ظا² س).
- ظل تمام ضعف الزاوية = مربع ظل تمام الزاوية -1 ÷ ظل تمام ضعف الزاوية، أي ظتا 2 س = (ظتا² س -1) / 2ظتا س.
متطابقات نصف الزاوية
وفي هذا النوع من المتطابقات يتم إيجاد جيب وجيب التمام وظل وظل التمام لنصف الزاوية من خلال ما يلي:
- جا (س/2)=± ((1-جتا س)/2)√.
جتا (س/2)=± ((1+جتا س)/2)√.
ظا (س/2)=± ((1-جتا س)/(1+جتا س))√= جاس/(1+جتا س)= 1-جتا س/ جا س= قتا س-ظتا س. - ظتا (س/2)=± ((1+جتا س)/(1-جتا س))√= جاس/(1-جتا س)= 1+جتا س/ جا س= قتا س+ظتا س.
استخدامات المتطابقات المثلثية في الحياة
استخدامات المتطابقات المثلثية في الحياة
علم الجريمة
تتجلى أهمية المتطابقات المثلثية في علم الجريمة في استخدامه في تحليل عناصر الجريمة، فمن أبرز استخداماته أنه يتم الاستعانة به في إيجاد زاوية التي توجهت منها رصاص البندقية، إلى جانب الوقوف على إتجاه انطلاق القذائف، فضلاً عن التعرف على طرق وقوع مختلف الأجسام.
علم الملاحة
تأتي أهمية المتطابقات المثلثية في علم الأحياء البحرية من خلال تحديد إتجاهات البوصلة، إلى جانب قياس المسافات، والوقوف على المواقع الجغرافية.
علم الأحياء البحرية
من خلال علم الأحياء البحرية يتمكن العلماء من التعرف على مدى تأثير ضوء الشمس على الكائنات البحرية أبرزها الطحالب، إلى جانب أن المتطابقات المثلثية تساعد على معرفة صفات وخصائص الحيوانات البحرية.
الصناعة
لا تتوقف أهمية المتطابقات المثلثية عند هذا الحد بل أيضًا يتم الاعتماد عليها في العديد من الصناعات أبرزها صناعة السيارات التي تساعد على تحديد أحجام عناصرها، إلى جانب استخدامها في تصميم العديد من الآلات والمعدات من بينها معدات الحياكة حيث تساعد المتطابقات على تحديد أطوال وقياسات الأقمشة.
الطيران
تساعد المتطابقات المثلثية على تحديد المسافات والسرعات والاتجاهات في مجال الطيران، إلى جانب قياس سرعة الرياح.
وبجانب ما سبق، فإن المتطابقات المثلثية تستخدم في المجالات التالية:
- تمثل أحد أهم الوسائل التي يتم الاعتماد عليها في قياس أنظمة الأقمار الصناعية.
- تستخدم المتطابقات في المحيطات حيث يعتمد عليها العلماء في قياس ارتفاع الأمواج.
- تستخدم في قياس الموجات الصوتية والضوئية.
- يتم الاعتماد عليها في علم الجغرافيا من خلال تصميم الخرائط.
- تتم الاستعانة بالمتطابقات في تحديد ارتفاعات المرتفعات، إلى جانب مختلف المباني.
- تستخدم أيضًا في العمارة والهندسة حيث يتم الاستعانة بها في قياس ارتفاعات أبراج الدعم، إلى جانب تحديد أطوال الكابلات.
